切割线定理证明带图（切割线定理证明）

嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊切割线定理的证明，别看名字复杂，其实它就是一个关于圆和线的巧妙关系。想象一下，你站在圆外，用一条线轻轻划过圆，切点和交点的长度关系是什么呢？定理告诉我们：从圆外一点引的切线的平方等于该点引的割线与圆的交点长度的乘积。是不是有点绕？别急，咱们慢慢来。

首先，咱们得问问自己，为什么会有这样的定理？其实，切割线定理揭示了圆与直线之间的几何关系，它不仅仅是数学游戏，还在实际生活中有广泛应用，比如建筑设计、光学原理等。那么，问题来了：这个定理是如何被证明的？

别慌，咱们一步步来。证明过程其实就像搭积木，通过连接圆心、切点和割线的交点，利用垂径定理和勾股定理，一步步推导出AP·BP=CP²。这个过程虽然有点繁琐，但每一步都是严密的逻辑推理。你觉得这个过程复杂吗？其实，只要你理解了基本的几何原理，这就像解开一个有趣的谜题。

最后，咱们可以思考一下，这个定理还能怎么用？比如，在解决实际问题时，如何利用切割线定理来简化计算？或者，它是否能帮助我们更好地理解圆的性质？总之，数学不仅仅是数字和公式，它更是我们理解世界的钥匙。所以，下次当你看到圆和线时，不妨多想想，它们之间还有哪些有趣的秘密呢？

关于切割线定理证明带图，切割线定理证明这个很多人还不知道，今天小六来为大家解答以上的问题，现在让我们一起来看看吧！

1、如图所示。

2、已知：由圆O外一点P引圆的一条切线交圆于C，引一条割线交圆于A、B求证：AP·BP=CP2证明连接OC，OP，OB；过O作AB垂线段，垂足为M；圆的半径为r则OC=OM=OB=r（同圆内所有半径都相等）∵CP为⊙O切线（已知）∴OC⊥OP（圆的切线垂直于交点处的半径）∴∠OCP=90°（垂直的定义）则由勾股定理得CP2=OP2-OC2=OP2-r2∵OM⊥AB（由作图得）∴∠OMB=90°（垂直的定义）则由勾股定理得MB2=OB2-OM2=r2-OM2MB=(r2-OM2)1/2由垂径定理得MA=MB=(r2-OM2)1/2∵∠AMB=180°（平角的定义），∠OMB=90°（已证）∴∠OMP=∠AMB-∠OMB=90°则由勾股定理得PM2=OP2-OM2PM=(OP2-OM2)1/2∴AP=PM-MA=(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2BP=PM+MB=(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2则AP·BP=[(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2][(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2]=[(OP2-OM2)1/2]2-[(r2-OM2)1/2]2=(OP2-OM2)-(r2-OM2)=OP2-OM2-r2+OM2=OP2-r2∵CP2=OP2-r2（已证）∴AP·BP=CP2证明完毕。

3、由此得到：从圆外一点P引一条切线交圆于C，引一条割线交圆于B、C，则AP·BP=CP2如图所示已知：由圆O外一点P引圆的一条切线交圆于C，引一条割线交圆于A、B求证：AP·BP=CP2证明连接OC，OP，OB；过O作AB垂线段，垂足为M；圆的半径为r则OC=OM=OB=r（同圆内所有半径都相等）∵CP为⊙O切线（已知）∴OC⊥OP（圆的切线垂直于交点处的半径）∴∠OCP=90°（垂直的定义）则由勾股定理得CP2=OP2-OC2=OP2-r2∵OM⊥AB（由作图得）∴∠OMB=90°（垂直的定义）则由勾股定理得MB2=OB2-OM2=r2-OM2MB=(r2-OM2)1/2由垂径定理得MA=MB=(r2-OM2)1/2∵∠AMB=180°（平角的定义），∠OMB=90°（已证）∴∠OMP=∠AMB-∠OMB=90°则由勾股定理得PM2=OP2-OM2PM=(OP2-OM2)1/2∴AP=PM-MA=(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2BP=PM+MB=(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2则AP·BP=[(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2][(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2]=[(OP2-OM2)1/2]2-[(r2-OM2)1/2]2=(OP2-OM2)-(r2-OM2)=OP2-OM2-r2+OM2=OP2-r2∵CP2=OP2-r2（已证）∴AP·BP=CP2证明完毕。

4、由此得到：从圆外一点P引一条切线交圆于C，引一条割线交圆于B、C，则AP·BP=CP2用相似三角形证明。

5、设过P的直线与圆交于AB，切于C，△APC∽△CPB。

6、设P是圆O外一点，射线PM交圆O于A，B两点，A介于P，B之间。

7、M是AB的中点。

8、射线PC切圆O于点C。

9、求证PA*PB=PC²。

10、证明：因为射线PM交圆O于A，B两点，所以OA=OB=半径。

11、因为M是AB的中点，所以AM=MB，OM⊥PM。

12、所以OA²-OM²=AM²，PO²=PM²+OM²。

13、因为A介于P，B之间，所以PA=PM-AM，PB=PM+MB。

14、因为射线PC切圆O于点C，所以OC=半径=OA，OC⊥PC。

15、所以PC²=PO²-OC²=PM²+OM²-OA²=PM²-AM²=(PM-AM)(PM+AM)=PA(PM+MB)=PA*PB。

16、证明完毕。

17、   以上解答是否满意？有疑问可来信交流。

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